【2019年下】

　　针对“角平分线的性质定理”的内容，请你完成下列任务：

　　(1)叙述角平分线的性质定理;(5分)

　　(2)设计“角平分线的性质定理”教学过程(只要求写出新课导入、定理形成与证明过程)，并说明设计意图;(20分)

　　(3)借助“角平分线的性质定理”，简述如何帮助学生积累认识几何图形的数学活动经验。(5分)

　　【参考答案】

　　(1)角平分线上的点到角两边的距离相等。

　　(2)新课导入：

　　提出问题：我们在之前就接触过角的平分线这个概念，那什么是角的平分线呢?

　　(学生回答)一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

　　教师提问：大家观察一下这个角，其实，再添加一些线段就能成为两个三角形，我们之前学习了全等三角形的性质及判定，那么结合这个，我们是否能够发现角的平分线的一些性质呢?今天我们就来探究一下这个问题。

　　【设计意图】复习角平分线的定义，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题。通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论。

　　得出：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

　　教师提问：是不是在角平分线上任意取点，都可以得到这个结论呢?

　　(学生动手验证)，得出肯定答案，所以角平分线的性质为：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

　　教师强调：这个性质的应用必须满足几个条件：(1)角的平分线;(2)点在该平分线上;(3)垂直距离。

　　【设计意图】学生通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路，以角的平分线的性质的证明为例，学生概括几何名命题的一般步骤，发展归纳概括能力。

　　(3)数学活动经验是一种属于学生自己的“主观性认识”，对于认识几何图形的数学活动经验，是学生经过数学学习后对整个数学活动过程产生的认识。如何帮助学生积累认识几何图形的数学活动经验，首先要联系直观图形，把生活经验转化为基本数学活动经验。学生在生活中已经积累的一些关于数学的原始、初步的经验，因此要善于捕捉生活中的数学现象，挖掘数学知识的生活内涵，让学生亲身经历将生活经验转化为数学活动经验的过程。例如在本节课中，可以先让学生画一个角，然后探究角平分线的作法。利用模型教具说明平分角的仪器的工作原理，从中受到启发，利用尺规做角的平分线，进一步思考角的平分线上的点的特征。

　　其次要引导观察、思考推理，丰富学生思维的经验。积累活动经验总得依赖一些活动，但是所谓的活动并不一定是指直观的操作活动，行为操作的经验是基本活动经验，抽象的思考、探究的经验也是基本活动经验的重要组成部分。例如在本节课中，教师在抛出“PD和PE有什么关系?”之后，教师先引导学生进行猜想，再带领学生进行自主探究去证明，对于不同的学生想出证明方法可能都不一样，所以教师可以组织学生进行汇报交流，最后师生共同总结得到证明方法，最终得到角平分线定理的性质。

　　【2019年上】

　　《义务教育数学课程标准(2011年版)》附录中给出了两个例子

　　例1：计算15×15，25×25,.......95×95并探索规律。

　　例2：证明例1所发现的规律。

　　很明显，例1计算得到的乘积是一个三位数或者四位数，其中后两位数都是25，而百和千位上的数字存在这样的规律：1×2=2,2×3=6,3×4=12,.....这是“发现问题”的过程，在发现问题基础上，需要尝试用语言与符号表示规律，实现“提出问题”，进一步，实现“分析问题”和“解决问题”。

　　请根据上述内容，完成下列任务

　　(1)分别设计例1、例2的教学目标;(8分)

　　(2)设计“提出问题”的主要教学过程;(8分)

　　(3)设计“分析问题”和“解决问题”的主要教学过程;(7分)

　　(4)设计推广例1所探索的规律的主要教学过程。(7分)

　　【参考答案】

　　(1)例1：

　　知识与技能目标：发现十位数字相同，个位数字为5的乘法运算规律，增强数感。

　　过程与方法目标：通过小组合作学习，提高合作探究、运算能力。

　　情感态度与价值观目标：培养学习数学的兴趣。

　　例2：

　　知识与技能目标：掌握发现的运算规律，运用规律进行乘法运算。

　　过程与方法目标：通过小组合作学习，提高学生发现、提出、分析和解决问题的能力。

　　情感态度与价值观目标：培养严谨的科学态度，提高学习数学的兴趣。

　　(2)导入：采用比赛导入，让学生计算两位整数的乘法15×15,25×25,35×35，比赛计算速度，引入本节课所学乘法规律。

　　新授：学生以小组合作的方式，计算45×45,....85×85的结果，并引导学生发现规律。学生可以发现乘积后两位数字都是25，并且发现百位和千位存在规律：1×2=2,2×3=6,3×4=12.....。

　　巩固：通过计算95×95结果，验证发现规律。

　　小结：引导学生共同总结发现规律。

　　作业：分析这种规律，并思考方法进行证明。

　　(3)导入：采用复习导入，通过上述运算的结果，让学生思考如何证明这种结果，进而引出本节课所学。

　　新授：让学生以小组形式讨论，研究上述规律适用于什么形式的乘法，并且满足怎样的规律，并用数学语言准确表达(提示完全平方公式)。

　　通过师生共同交流，可以发现这类乘法满足的形式为(10x+5)×(10x+5)，且结果等于100x(x+1)+25。

　　巩固：运算65×65和75×75的结果，验证是否符合发现规律。

　　小结：师生共同总结出规律(10x+5)×(10x+5)=100x(x+1)+25。

　　作业：思考十位数字相同，个位数字和为10的乘法是否也有相应的规律，如47×43,46×44，….

　　(4)导入：采用复习导入和比赛导入的形式，通过让学生回忆规律(10x+5)×(10x+5)=100x(x+1)+25，让学生比赛计算47×43,46×44，42×48….，68×62,64×62，63×67结果，进而引出本节课所学。

　　新授：学生以小组合作的方式，分析上述计算结果，并引导学生发现规律。通过师生共同交流，可以发现乘积后两位数字都是个位数字之积，并且发现百位和千位存在规律：4×5=20,6×7=42.....。

　　巩固：运算32×38,31×39和33×37的结果，验证是否符合发现的规律。

　　小结：师生共同总结出十位数字相同，个位数字和为10的乘法也有相应规律，即乘积后两位数字都是个位数字之积，并且发现百位和千位存在规律：4×5=20,6×7=42.....。

　　作业：思考方法进行证明。

　　【2018年下】

　　教学课题为平行四边形的判定定理：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。请你完成下列任务：

　　(1)设计一个问题情境引入该定理，并说明设计意图。

　　(2)设计定理证明的教学片断，并说明设计意图。

　　(3)在教学中，为了巩固对该定理的理解，教师设计了如下例题：

　　请设计此题的变式题，以进一步理解和巩固该定理。

　　【参考答案】

　　(1)提出问题：已经学习过的平行四边形的判定方法有哪些?你能利用学习过的方法来解决以下问题问题吗?已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。求证：四边形ABCD是平行四边形。

　　【设计意图】从学生已有的知识出发，学生可以顺利地进入本节课知识的学习，有助于提升学生的学习自信心与求知欲。

　　(2)第一环节：问题转化

　　教师引导学生将判定性质中“对角线互相平分的四边形是平行四边形”已知和求证的结论转化为数学语言：已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD为平行四边形。

　　第二环节：整理思路

　　提问：根据已知条件，如何进行平行四边形的判定?可以结合以前学习过的平行四边形的判定性质吗?引导学生初步得出可以利用已知知识，即根据全等三角形的判定获得，学生简述证明过程。

　　思路1：

　　，利用平行四边形的判定性质：两组对边分别相等的四边形为平行四边形得出结论。

　　思路2：

　　，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出结论。

　　第三环节：写出证明过程

　　请两名同学分别板书其证明过程，其他学生在练习本中写出证明过程，师生共同检查证明过程的严谨性，最终得出平行四边形的判定性质：对角线相互平分的四边形是平行四边形。

　　【设计意图】学生根据之前学过的知识，建立知识联系，培养了学生知识迁移能力。另外也有助于学生建立平行四边形的判定的知识网络。在证明过程中培养了学生的数学语言表达能力，有助于数学严谨思维的形成。

　　(3)变式练习：点O为平行四边形的对角线AC和BD的交点，延长OB到点E，使得BE=OB，延长OD到点F，使得DF=OD，连接AE，EC，CF，FA，求证：四边形AECF是平行四边形。

　　【设计意图】通过以上变式练习，学生可以再次感受证明题目的解题过程，体会证明的严谨性，培养学生论证能力与思想方法。