人与人次

华图教育   胡家欢

　　摘要:此片文章主要针对于已经学习过容斥问题的学生，来对经典容斥问题进一步的拓展和分析，指明关于容斥问题需要了解的拓展知识点。

　　容斥问题的核心其实就是去重问题，举一个简单的例子，比如说举行两场考试，参加第*场的学生有100人，参加第二场的也有100人。那么问题就来了，是不是参加考试的人数就一定是200人呢?答案是否定的，因为有的人可能两场都参加了，在第*场当中他算了一次，在第二次中又算了一次，所以呢，他是属于重复计数的人员。这就是我们经典的容斥问题所讨论的，当有人重复计数的时候，我应该去除掉重复计数的人员，假设有10个人是两场考试都参加了的，那么我们参加考试的总人数应为100+100-10，也就是我们二集合容斥问题的经典公式A+B-AB

　　到这里我们也就不难发现，其实前面我们所讲的参加第*场考试的学生有100人，参加第二场考试的学生也是100人，其实这不是在计人数，而是在计参加考试的人次数，所以当我去掉重复计数的人次数之后，得到的就是具体的人数，也就是说我们经典的容斥问题，讨论的是去重的问题、讨论的是人次到人的过程。

　　而我们也应该要发现，二集合公式当中的A+B，以及三集合公式中的A+B+C，实际上都是人次数。

　　那么，我们接下来讨论一下人次的问题，分析一下，由人到人次是一个怎样的过程。

　　同样先举一个例子，比如说有10人要参加一场考试，有20人要参加两场考试，有30人要参加三场考试，请问总共得准备多少份试卷?不难看出参加一场考试的人员只需准备1×10张，参加两场考试的人员需要2×20张，参加3场考试的人员需要3×30张。这就是我们总要准备的试卷数。其实这也就是从人到人次的过程，也就是我们容斥问题的反向，为加重问题。

　　由人到人次的加重问题可以由一个公式模型代表：

　　人次=(1×a)+(2×b)+(3×c)

　　a---一次的人数

　　b---两次的人数

　　c---三次的人数

　　来看一道2018年联考：

　　(2018-联考B-50.) 一个班级组织跑步比赛，共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人，报名参加100米比赛的有27人，参加200米比赛的有25人，参加400米比赛的有21人。如果每人zui多只能报名参加2项比赛，那么该班zui多有多少人未报名参赛?

　　A. 11 B. 12

　　C. 13 D. 14

　　【答案】C

　　【解析】题中“报名参加100米比赛的有27人，参加200米比赛的有25人，参加400米比赛的有21人”指的都是人次数，那么“每人zui多只能报名参加2项比赛”，说明每人的人次zui多计为2。想让该班未报名参赛的人数zui多，只需让报名参加了跑步比赛的人多占次数即可，也就是参加了的人数尽可能都计两人次。此时，算得的参加跑步比赛的人数为(27+25+21)/2=36.5。向上取整，说明改版zui少有37人才加，也就说明zui多有13人未参加。